Wednesday, December 10, 2014

Linear Algebra - Plus/Minus Theorem

집합 S를 벡터공간 V의 공집합이 아닌 벡터집합이라 할 때,

(1) Plus Theorem : 만일 S내의 벡터들이 일차독립이고 벡터 v(v∈V)를 S내의 벡터들에 의해서 생성되는 벡터공간 외부의 벡터라고 한다면 S∪{v}도 일차독립이 된다.

(2) Minus Theorem : 만일 벡터  v(v∈S)가 집합 S내의 다른 원소들의 일차결합으로 표현될 수 있다면 S-{v}도 동일한 공간을 생성하게 된다.

(1)의 증명

S = {v(1), v(2), ... , v(n)}라고 표현하자.

S` = {v(1), v(2), ... , v(n), v} = S + {v}이 일차독립임을 보이자.

k(1)v(1) + k(2)v(2) + ... + k(n)v(n) + kv = 0임을 보이는 것과 동치이다.

k ≠ 0이면, v = -(k(1)v(1) + k(2)v(2) + ... + k(n)v(n)) / k 가 되어 v가 벡터공간 외부의 벡터라는 가정에 모순이다.

k = 0이면, S내에 벡터들이 일차독립이므로 k(1)v(1) + k(2)v(2) + ... + k(n)v(n) = 0이고 k(1) = k(2) = ... = k(n) = 0인 유일한 해를 가진다.

∴ k(1) = k(2) = ... = k(n) = k = 0인 유일한 해를 가지므로 S`은 일차독립이다.

(2)의 증명

S = {v(1), v(2), ... , v(n), v}이고 v = k(1)v(1) + k(2)v(2) + ... + k(n)v(n).

w∈S인 w에 대해

w = c(1)v(1) + c(2)v(2) + ... + c(n)v(n) + cv

   = c(1)v(1) + c(2)v(2) + ... + c(n)v(n) + c(k(1)v(1) + k(2)v(2) + ... + k(n)v(n))

   = (c(1)+ck(1))v(1) + (c(2)+ck(2))v(2) + ... (c(n)+ck(n))v(n)

∴ S-{v}도 동일한 공간을 생성한다.

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